定义
最短路问题的定义为：
下图左侧是一幅带权有向图，以顶点 0 为起点到各个顶点的最短路径形成的最短路径树如下图右侧所示：
带权有向图的实现
在实现最短路算法之前需要先实现带权有向图。在上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中我们实现了带权无向图，只需一点修改就能实现带权有向图。
带权有向边
首先应该实现带权有向图中的边 DirectedEdge，这个类有三个成员变量：指出边的顶点 v、边指向的顶点 w 和边的权重 weight。代码如下所示：
package com.zhiyiyo.graph; /** * 带权有向边 */ public class DirectedEdge { int v, w; double weight; public DirectedEdge(int v, int w, double weight) { this.v = v; this.w = w; this.weight = weight; } public int from() { return v; public int to() { return w; public double getWeight() { return weight; @Override public String toString() { return String.format("%d->%d(%.2f)", v, w, weight); } 带权有向图
带权有向图的实现非常简单，只需将带权无向图使用的 Edge 类换成 DirectedEdge 类，并作出少许调整即可：
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack; import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack; public class WeightedDigraph { private final int V; protected int E; protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj; public WeightedDigraph(int V) { this.V = V; adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V]; for (int i = 0; i < V; i++) { adj[i] = new LinkStack<>(); } } public int V() { return V; } public int E() { return E; } public void addEdge(DirectedEdge edge) { adj[edge.from()].push(edge); E++; } public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) { return adj[v]; } public Iterable<DirectedEdge> edges() { Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>(); for (int v = 0; v < V; ++v) { for (DirectedEdge edge : adj(v)) { edges.push(edge); } } return edges; } } 最短路算法
API
最短路算法应该支持起始点 \(v_s\) 到任意顶点 \(v_t\) 的最短距离和最短路径的查询：
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack; import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack; public class WeightedDigraph { private final int V; protected int E; protected LinkStack<DirectedEdge>[] adj; public WeightedDigraph(int V) { this.V = V; adj = (LinkStack<DirectedEdge>[]) new LinkStack[V]; for (int i = 0; i < V; i++) { adj[i] = new LinkStack<>(); } } public int V() { return V; public int E() { return E; public void addEdge(DirectedEdge edge) { adj[edge.from()].push(edge); E++; public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) { return adj[v]; public Iterable<DirectedEdge> edges() { Stack<DirectedEdge> edges = new LinkStack<>(); for (int v = 0; v < V; ++v) { for (DirectedEdge edge : adj(v)) { edges.push(edge); } return edges; } Dijkstra 算法
我们可以使用一个距离数组 distTo[] 来保存起始点 \(v_s\) 到其余顶点 \(v_t\) 的最短路径，且 distTo[] 数组满足以下条件：
可以使用 Double.POSITIVE_INFINITY 来表示无穷大，有了这个数组之后我们可以实现 ShortestPath 前两个方法：
package com.zhiyiyo.graph; public class DijkstraSP implements ShortestPath { private double[] distTo; @Override public double distTo(int v) { return distTo[v]; } public boolean hasPathTo(int v) { return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY; } 为了实现保存 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的最短路径，可以使用一个边数组 edgeTo[]，其中 edgeTo[v] = e_wv 表示要想到达 \(v_t\)，需要先经过顶点 \(v_w\)，接着从 edgeTo[w]获取到达 \(v_w\) 之前需要到达的上一个节点，重复上述步骤直到发现 edgeTo[i] = null，这时候就说明我们回到了 \(v_s\)。 获取最短路径的代码如下所示：
@Override public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) { if (!hasPathTo(v)) return null; Stack<DirectedEdge> path = new LinkStack<>(); for (DirectedEdge e = edgeTo[v]; e != null; e = edgeTo[e.from()]) { path.push(e); } return path; } 算法流程
虽然我们已经实现了上述接口，但是如何得到 distTo[] 和 edgeTo[] 还是个问题，这就需要用到 Dijkstra 算法了。算法的思想是这样的：
- 初始化
distTo[]使得除了distTo展开 = 0外，其余的元素都为Double.POSITIVE_INFINITY。同时初始化edgeTo[]的每个元素都是null； - 将顶点 s 的所有相邻顶点 \(v_j\) 加入集合 \(V'\) 中，设置
distTo[j] = l_sj即初始化最短距离为邻边的权重； - 从 \(V'\) 中取出距离最短即
distTo[m]最小的顶点 \(v_m\)，遍历 \(v_m\) 的所有邻边 \((v_m, v_w)\)，如果有 \(l_{mw}+l_{sw}<l_{sw}\)，就说明从 \(v_s\) 走到 \(v_m\) 再一步走到 \(v_w\) 距离最短，我们就去更新distTo[m]，同时将 \(v_w\) 添加到 \(V'\) 中（如果 \(v_w\) 不在的话）；
重复上述过程直到 \(V'\) 变为空，我们就已经找到了所有 \(v_s\) 可达的顶点的最短路径。
上述过程中有个地方会影响算法的性能，就是如何从 \(V'\) 中取出最小距离对应的顶点 \(v_m\)。如果直接遍历 \(V'\) 最坏情况下时间复杂度为 \(O(|V|)\)，如果换成最小索引优先队列则可以将时间复杂度降至 \(O(\log|V|)\)。
最小索引优先队列
上一篇博客 《如何在 Java 中实现最小生成树算法》 中介绍了最小堆的使用，最小堆可以在对数时间内取出数据集合中的最小值，对应到最短路算法中就是最短路径。但是有一个问题，就是我们想要的是最短路径对应的那个顶点 \(v_m\)，只使用最小堆是做不到这一点的。如何能将最小堆中的距离值和顶点进行绑定呢？这就要用到索引优先队列。
索引优先队列的 API 如下所示，可以看到每个元素 item 都和一个索引 k 进行绑定，我们可以通过索引 k 读写优先队列中的元素。想象一下堆中的所有元素放在一个数组 pq 中，索引优先队列可以做到在对数时间内取出 pq 的最小值。
package com.zhiyiyo.collection.queue; /** * 索引优先队列 */ public interface IndexPriorQueue<K extends Comparable<K>> { /** * 向堆中插入一个元素 * * @param k 元素的索引 * @param item 插入的元素 */ void insert(int k, K item); * 修改堆中指定索引的元素值 * @param item 新的元素值 void change(int k, K item); * 向堆中插入或修改元素 void set(int k, K item); * 堆是否包含索引为 k 的元素 * @param k 索引 * @return 是否包含 boolean contains(int k); * 弹出堆顶的元素并返回其索引 * @return 堆顶元素的索引 int pop(); * 弹出堆中索引为 k 为元素 * @return 索引对应的元素 K delete(int k); * 获取堆中索引为 k 的元素，如果 k 不存在则返回 null * @return 索引为 k 的元素 K get(int k); * 获取堆中的元素个数 int size(); * 堆是否为空 boolean isEmpty(); } 实现索引优先队列比优先队列麻烦一点，因为需要维护每个元素的索引。之前我们是将元素按照完全二叉树的存放顺序进行存储，现在可以换成索引，而元素只需根据索引值 k 放在数组 keys[k] 处即可。只有索引数组 indexes[] 和元素数组 keys[] 还不够，如果我们想实现 contains(int k) 方法，目前只能遍历一下 indexes[]，看看 k 在不在里面，时间复杂度是 \(O(|V|)\)。何不多维护一个数组 nodeIndexes[]，使得它满足下述关系：
如果能在 nodeIndexes[k] 不是 -1，就说明索引 \(k\) 对应的元素存在与堆中，且索引 k 在 indexes[] 中的位置为 \(d\)，即有下述等式成立：
有了这三个数组之后我们就可以实现最小索引优先队列了：
package com.zhiyiyo.collection.queue; import java.util.Arrays; import java.util.NoSuchElementException; /** * 最小索引优先队列 */ public class IndexMinPriorQueue<K extends Comparable<K>> implements IndexPriorQueue<K> { private K[] keys; // 元素 private int[] indexes; // 元素的索引，按照最小堆的顺序摆放 private int[] nodeIndexes; // 元素的索引在完全二叉树中的编号 private int N; public IndexMinPriorQueue(int maxSize) { keys = (K[]) new Comparable[maxSize + 1]; indexes = new int[maxSize + 1]; nodeIndexes = new int[maxSize + 1]; Arrays.fill(nodeIndexes, -1); } @Override public void insert(int k, K item) { keys[k] = item; indexes[++N] = k; nodeIndexes[k] = N; swim(N); public void change(int k, K item) { validateIndex(k); swim(nodeIndexes[k]); sink(nodeIndexes[k]); public void set(int k, K item) { if (!contains(k)) { insert(k, item); } else { change(k, item); } public boolean contains(int k) { return nodeIndexes[k] != -1; public int pop() { int k = indexes[1]; delete(k); return k; public K delete(int k) { K item = keys[k]; // 交换之后 nodeIndexes[k] 发生变化，必须先保存为局部变量 int nodeIndex = nodeIndexes[k]; swap(nodeIndex, N--); // 必须有上浮的操作，交换后的元素可能比上面的元素更小 swim(nodeIndex); sink(nodeIndex); keys[k] = null; nodeIndexes[k] = -1; return item; public K get(int k) { return contains(k) ? keys[k] : null; public K min() { return keys[indexes[1]]; /** * 获取最小的元素对应的索引 */ public int minIndex() { return indexes[1]; public int size() { return N; public boolean isEmpty() { return N == 0; * 元素上浮 * * @param k 元素的索引 private void swim(int k) { while (k > 1 && less(k, k / 2)) { swap(k, k / 2); k /= 2; * 元素下沉 private void sink(int k) { while (2 * k <= N) { int j = 2 * k; // 检查是否有两个子节点 if (j < N && less(j + 1, j)) j++; if (less(k, j)) break; swap(k, j); k = j; * 交换完全二叉树中编号为 a 和 b 的节点 * @param a 索引 a * @param b 索引 b private void swap(int a, int b) { int k1 = indexes[a], k2 = indexes[b]; nodeIndexes[k2] = a; nodeIndexes[k1] = b; indexes[a] = k2; indexes[b] = k1; private boolean less(int a, int b) { return keys[indexes[a]].compareTo(keys[indexes[b]]) < 0; private void validateIndex(int k) { throw new NoSuchElementException("索引" + k + "不在优先队列中"); } 注意对比最小堆和最小索引堆的 swap(int a, int b) 方法以及 less(int a, int b) 方法，在交换堆中的元素时使用的依据是元素的大小，交换之后无需调整 keys[]，而是交换 nodeIndexes[] 和 indexes[] 中的元素。
实现算法
通过上述的分析，实现 Dijkstra 算法就很简单了，时间复杂度为 \(O(|E|\log |V|)\)：
package com.zhiyiyo.graph; import com.zhiyiyo.collection.queue.IndexMinPriorQueue; import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack; import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack; import java.util.Arrays; public class DijkstraSP implements ShortestPath { private double[] distTo; private DirectedEdge[] edgeTo; private IndexMinPriorQueue<Double> pq; private int s; public DijkstraSP(WeightedDigraph graph, int s) { pq = new IndexMinPriorQueue<>(graph.V()); edgeTo = new DirectedEdge[graph.V()]; // 初始化距离 distTo = new double[graph.V()]; Arrays.fill(distTo, Double.POSITIVE_INFINITY); distTo展开 = 0; visit(graph, s); while (!pq.isEmpty()) { visit(graph, pq.pop()); } } private void visit(WeightedDigraph graph, int v) { for (DirectedEdge edge : graph.adj(v)) { int w = edge.to(); if (distTo[w] > distTo[v] + edge.getWeight()) { distTo[w] = distTo[v] + edge.getWeight(); edgeTo[w] = edge; pq.set(w, distTo[w]); } // 省略已实现的方法 ... } 后记
Dijkstra 算法还能继续优化，将最小索引堆换成斐波那契堆之后时间复杂度为 \(O(|E|+|V|\log |V|)\)，这里就不写了（因为还没学到斐波那契堆），以上~~
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